Tugas Makalah Matematika SMP

TUGAS MATEMATIKA

MAKALAH

Disusun oleh:

ELSA AMALIA

KELAS VIII A

DINAS PENDIDIKAN KABUPATEN CIAMIS

SMP NEGERI 5 CIAMIS

 JL. Jend Sudirman, No. 76, Ciamis, 46211, Tlp (0265) 771244

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa karena hanya dengan limpahan rahmat dan karunia-Nya, penulis dapat menyelesaikan makalah yang disusun untuk memenuhi tugas mata pelajaran Matematika.

Menyadari bahwa makalah ini masih mempunyai banyak kekurangan. Untuk itu penulis sangat mengharapkan segala saran dan kritik yang konstruktif dan inspiratif dari semua pihak sehingga dapat menambah wawasan dan sebagai evaluasi diri dalam penyusunan makalah selanjutnya. semoga makalah ini dapat memberikan manfaat hususnya bagi penulis umumnya bagi pembaca.

Ciamis,    Desember 2016

Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR..................................................................................... i

DAFTAR ISI................................................................................................... ii

BAB I OPERASI ALJABAR......................................................................... 1

BAB II RELASI DAN FUNGSI.................................................................... 3

BAB III GRADIEN DAN PERSAMAAN GARIS LURUS........................ 6

BAB IV SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL.................... 9

BAB V TEOREMA PYTHAGORAS............................................................ 11

 

BAB I

OPERASI ALJABAR

Bentuk-Bentuk seperti 2a , -5b, x3, 3p + 2qdisebut bentuk aljabar. Pada bentuk aljabar 2a,2 disebut koefisien, sedangkan a disebutvariabel( peubah ). Bentuk 5x² + 13x + 6 disebut bentuk aljabar suku dua atau binom sedangkan bentuk 8x² – 26xy + 15y² disebut bentuk aljabar suku tiga atau  trinom.

A.  Pengertian Koefisien, Variabel, Konstanta, Dan Suku

1.        Variabel

Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, … z.

2.        Konstanta

Suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel disebut konstanta.

3.        Koefisien

Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.

4.        Suku

Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

a.    Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.

b.    Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih.

c.    Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih.

B.  Operasi Bentuk Aljabar

1.    Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

Contoh:
Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut :
b. (2x² – 3x + 2) + (4x² – 5x + 1)
Penyelesaian:
b. (2x² – 3x + 2) + (4x² – 5x + 1)
= 2x² – 3x + 2 + 4x² – 5x + 1
= (2 + 4)x² + (–3 – 5)x + (2 + 1)
= 6x² – 8x + 3

2.    Perkalian

Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a × (b + c) = (a × b) + (a × c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a × (b – c) = (a × b) – (a × c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.

Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar

Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.

k(ax) = kax

k(ax + b) = kax + kb

Perkalian antara dua bentuk aljabar

Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributive perkalian terhadap pengurangan.

Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut. Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan suku dua berikut.

(ax+b)(cx+d) = ax × cx + ax × d + b × cx + b × d

= acx² + (ad +bc)x + bd

Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut.

(ax+b)(cx+d) = ax(cx +d) + b(cx +d)

= ax × cx +ax × d + b × cx + b × d

= acx² +adx +bcx +bd

= acx² +(ad + bc)x + bd

BAB II

RELASI DAN FUNGSI

A.  Relasi

         Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan

anggota-anggota himpunan B.

Contoh :

Empat orang anak yaitu Ria, Rian, Reni, dan Revi memilih jenis musik yang mereka sukai. Ternyata:

Ria dan Rian memilih musik pop.

Rian dan Reni memilih musik rock.

Rian, Reni, dan Revi memilih musik jazz.

         Jika A = {Ria, Rian, Reni, Revi} dan B = {pop, rock, jazz}, maka dapat dibentuk relasi (hubungan) antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Relasi yang tepat dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi “menyukai”.

         Ria dipasangkan dengan pop, berarti Ria menyukai musik pop, Rian dipasangkan dengan pop, rock, dan jazz, berarti Rian menyukai tiga jenis musik, yaitu musik pop, rock, dan jazz, Reni dipasangkan dengan rock dan jazz, berarti Reni menyukai dua jenis musik, yaitu musik rock dan jazz, sedangkan Revi dipasangkan dengan jazz, berarti Revi menyukai musik pjazz. Relasi terebut dapat ditunjukkan dengan jelas pada gambar dibawah ini.

1.    Menyatakan Relasi

Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan diagram panah, diagram cartesius dan himpunan pasangan berurutan.

Jika himpunan A = {Tias, Jamal, Farid, Dika} dan himpunan B = {voli, basket, tenis}. Terdapat relasi gemar bermain dari himpunan A ke himpunan B.

a.    Diagram Panah

b.    Diagram Cartesius

c.    Himpunan Pasangan Berurutan.

{(Tias, Voli), (Jamal, Voli), (Jamal, Basket), (Farid, Voli), (Farid, Basket), (Farid, Tenis), (Dika, Tenis)}

B.  Fungsi

         Fungsi  dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A(daerah asal atau domain),  dengan tepat satu anggota himpunan B(daerah kawan atau kodomain). Himpuan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil (range).

1.    Menyatakan Fungsi

Menyatakan fungsi dalam diagram panah, diagram cartesius, dan pasangan berurutan

a.    Diagram Panah

b.    Diagram Cartesius

c.    Himpunan Pasangan Berurutan

{(1, 3), (2, 0), (3, -3)}

BAB III

GRADIEN DAN PERSAMAAN GARIS LURUS

A.  Gradien

– Gradien (m) disebut juga kemiringan garis.

– Bentuk umum persamaan garis lurus y = mx+c , dg m(gradien)

– Sedangkan pada persamaan garis : ax+by+c = 0 maka gradiennya :

by = -ax – c

y = -a/bx – c/b

m(gradient) = -a/b

B.  Hubungan 2 Garis Lurus :

Bila diketahui garis k : y = m1 x + c dan garis l : y = m2 x + d maka berlaku gradien :

1) m1 = m2 jika garis k sejajar garis l

contoh : gradien sebuah garis yang sejajar dengan 3x + 6y = 8

a = 3 , b = 6

m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg sejajar : m1=m2 , maka m2 = -1/2

2) m1 . m2 = -1 jika garis k tegak lurus

garis l contoh : gradien sebuah garis yang tegak lurus dengan 3x + 6y = 8

a = 3 , b = 6 m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg tegak lurus : m1 . m2 = -1 , maka m2 = 2 

C.  Persamaan Garis Lurus

1.    Garis dengan gradien m dan melalui 1 titik

Persamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik (x1,y1), adalah :

y – y1 = m (x – x1)

2.    Persamaan garis yang melalui dua titik

Gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu :

dengan menggunakan rumus persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1 , y1),

yaitu y – y1 = m ( x – x1 ) dapat diperoleh rumus berikut :

y – y1 = m ( x – x1 )

y – y1 = [(y2-y1)/(x2-x1)] (x – x1)

(y – y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)

Kesimpulan :

Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu : (y – y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)

D.  Hubungan 2 garis lurus

1.    Persamaan garis yang saling sejajar

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan sejajar dengan garis y = 2x – 5

jawab : y = 2x – 5  maka m = 2 m1 = m2 = 2 (karna sejajar)

maka :

y – y1 = m (x-x1)

y – 3 = 2 (x-2)

y = 2x-4+3

y = 2x -1

2.    Persamaan garis yang tegak lurus

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan tegak lurus dengan garis y = 2x – 5

jawab : y = 2x – 5  maka m = 2 , karna tegak lurus : m1.m2 = -1 m2 = -1/2

maka persamaan garisnya :

y – y1 = m (x-x1)

y – 3 = -1/2 (x-2)

y = -1/2 x + 1 + 3

y = -1/2 x + 4

kali 2

2y = -x + 4

2y + x – 4 = 0

3.     Persamaan garis yang berhimpit

Garis-garis dengan persamaan y = m1x + c1 dan y = m2x + c2 berimpit, jika dan hanya jika m1 = m2 dan c1 = c2 dan secara umum garis dengan persamaan ax+by+c = 0 akan berhimpit dengan garis px+qy+r = 0 , jika p,q,r masing” merupakan kelipatan dari a, b, c…

4.    Persamaan garis yang berpotongan

Dua garis akan berpotongan jika memiliki gradien yang tidak sama atau koefisien dari x , y, dan konstantanya bukan merupakan kelipatan dari koefisien x, y dan konstanta persamaan garis lainnya.

BAB IV

SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL

A.  Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu.

Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah:

dimana = x dan y adalah variable

B.  Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel adalah dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:

dimana: x dan y disebut variable

a, b, p dan q disebut koefisien

c dan r disebut konstanta

C.  Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1.    Metode Eliminasi

Pada metode eliminasi, untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel, caranya adalah dengan menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut. Jika variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya. Perhatikan bahwa jika koefisien dari salah satu variabel sama maka kita dapat mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel tersebut, untuk selanjutnya menentukan variabel yang lain.

2.    Metode Substitusi

Metode Substitusi Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi, terlebih dahulu kita n yatakan variabel yang satu ke dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, kemudian menyubstitusikan (menggantikan) variabel itu dalam persamaan yang lainnya.

3.    Metode Gabungan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode gabungan, kita menggabungkan metode eliminasi dan substitusi.

BAB V

TEOREMA PYTHAGORAS

A.  Teorema Pythagoras

Pythagoras menyatakan bahwa : “Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi miring (Hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.”

jika a adalah panjang sisi miring/hipotenusa segitiga, b dan c adalah panjang sisi siku-siku. Berdasarkan teorema Pythagoras di atas maka diperoleh hubungan:

Dalil pythagoras di atas dapat diturunkan menjadi:

Catatan : Dalam menentukan persamaan Pythagoras yang perlu diperhatikan

adalah siapa yang berkedudukan sebagai hipotenusa/sisi miring.

B.  Bukti teorema Pythagoras

Dari gambar (b) diatas, dapat diketahui bahwa:

Luas persegi besar =  Luas persegi miring + luas 4 segitiga

C.  Menentukan Jenis Segitiga jika Diketahui Panjang Sisinya dan Tripel Pythagoras

Kebalikan Dalil Pythagoras

Dalil pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga ABC, jika sudut A siku-siku maka berlaku

Dalam  ∆ ABC, apabila a adalah sisi dihadapan sudut A, b adalah sisi dihadapan sudut B, dan c adalah sisi di hadapan sudut C, maka berlaku kebalikan Teorema Pythagoras, yaitu:

Jika , maka ∆ ABC siku-siku di A.

Jika maka ∆ ABC siku-siku di B.

Jika maka ∆ ABC siku-siku di C.
Dengan menggunakan prinsip kebalikan dalil Pythagoras, kita dapat menentukan apakah suatu segitiga merupakan segitiga lancip atau tumpul.

Jika  maka    ∆ ABC adalah segitiga siku-siku.

Jika  , maka  ∆ ABC adalah segitiga tumpul.

Jika  , maka  ∆ ABC adalah segitiga lancip.

Dimana a adalah sisi terpanjang suatu segitiga.

jika kalian ingin file docnya silahkan klik disini untuk passwordnya bisa kalian mengirim email ke alamat deymarjr10@gmail.com tidak dipungut biaya kok